已知一个圆的圆心C在抛物线Y^2=2PX

1,证明：设圆心坐标为C(x,y),过C作y轴的垂线CD，垂足为D，则MD=ND(垂径定理） 因为圆的半径r=AC=(x-p)^2+y^2,CD=x
所以MD^2=r^2-p^2=(x-p)^2+y^2-x^2
=-2px+p^2+y^2…（1）
由题设，得：y^2=2px，代入（1），得：MD^2=p^2,所以MD=ND=p
所以MN=2p（定值）

2，解：由均值不等式得当且仅当m=n时原式值最小。
因为MA=NA，所以直角三角形MAO全等于直角三角形NAO
所以M，N位于x轴两侧，即AO垂直平分弦MN，
所以圆心C在x轴上，即C位于原点.
此时圆C的半径是OA=p
所以圆C的方程是x^2+y^2=p^2